Введение

В связи с процессами глобализации, которые требуют унификации и упрощения системы образования, уровень математического образования на всех ступенях за последние 20–30 лет резко снизился во всем мире. Дело в том, что глобализированным игрокам не нужны суверенные государства с развитыми системами образования, не нужны в большом количестве думающие люди, а нужны в основном исполнители для обслуживания их бизнеса и политических процессов. Правительствам, при отсутствии вызовов, прямо влияющих на национальную безопасность, также не нужно грамотное и думающее население. Когда были востребованы математики, физики, химики, инженеры, ученые естественнонаучного и технического профиля в СССР? Во время индустриализации и войны с фашистами, во время ядерно-космической гонки с США, когда многое делалось для развития ВПК страны (середина 60-x – середина 70-х годов прошлого века). И даже в первой половине 80-х годов, когда один за одним сменялись первые лица страны, СССР подготовил достойный асимметричный ответ на «Стратегическую оборонную инициативу» Р. Рейгана, также известную как «Звездные войны» (“Star war”).

В Соединенных Штатах сами американцы говорили “No star wars – no mathematics”. Эти слова выдающийся математик современности, вице-президент Международного математического союза (1995–1998), академик АН СССР и РАН Владимир Игоревич Арнольд (1937–2010) комментировал следующим образом: «Тот прискорбный факт, что с (временным?) прекращением военного противостояния математика, как и все фундаментальные науки, перестала финансироваться, является позором для современной цивилизации, признающей только “прикладные” науки, ведущей себя совершенно подобно свинье под дубом» (Арнольд, 1997: 109-112.).

О деградации математического образования в мире в целом и в России в частности с конца 90-x годов ХХ века было написано много ярких статей. Наиболее непримиримою борьбу с математической безграмотностью во всем мире вел В.И. Арнольд, который считал ее страшнее костров инквизиции (см.: Арнольд, 1998). Он писал, что на границе последних двух веков только от 1 до 2 % американских школьных учителей, в зависимости от штата, могут разделить дробь на дробь, а студенты американских вузов уже не могут сложить две простые дроби, складывая отдельно их числители и знаменатели и деля первую сумму на вторую (см.: Арнольд, 2002b). Но если вы не умеете совершать операции с дробями, то вы не можете делать алгебраические преобразования, следовательно, вычислять простейшие производные и интегралы, а отсюда и решать дифференциальные уравнения и так далее – что же в таком случае вы представляете собой как специалист?!.

Из-за незнания арифметики обучение высшей математике в США и в самых развитых странах мира, например, во Франции сводится к зубрежке табличных производных и интегралов или их поиску с помощью смартфонов. Даже если находится такой преподаватель, который попытается объяснить студентам выводы простейших производных и интегралов, это не приводит к должному результату, так как студенты не знают азов арифметики.

Помимо глобализаторов, существенную лепту в разрушение математического образования в мире внесли и сами математики, началось это с внедрением идеологии известной французской школы Бурбаки, которая основывалась на теории множеств, носила чрезмерно формализованный характер и игнорировала стандартные разделы математики, без которых не может происходить реальный научно-технический прогресс. Несмотря на общепризнанный вклад этой школы (группы) в развитие абстрактной математики, ее авторитет способствовал внедрению ее идеологии не только в процесс обучения в школе и университетах, но и в политику. Как пишет В.И. Арнольд, выхолощенное и формализованное преподавание математики на всех уровнях сделалось, к несчастью, системой, изобилующей немотивированными определениями и непонятными (хотя логически безупречными) доказательствами. В то же время в преподавании математики наблюдается отсутствие примеров, отсутствие чертежей и рисунков (см.: Арнольд, 1997).

Вспомним Колмогоровскую реформу школьной математики семидесятых годов, которой предшествовал двадцатилетний период подготовки. Она осуществлялась из лучших побуждений, в эйфории от советских достижений в науке и технике, апогеем которых стал запуск человека в космос. За эту реформу взялись сильные математики, которые, не зная психологии детей и возможности усвоения ими математических знаний в зависимости от возраста, начали писать заумные учебники, не понятные не только детям, но и их учителям. Итоги реформы стали пожинать в конце 70-х годов, когда вузовские математики стали жаловаться на необучаемость первокурсников. Детально эта реформа и подготовительный период к ней описаны в работе Ю.П. Костенко к 40-летию «Колмогоровской реформы». Приведем ее заключительную часть: «“Реформа-70” изгнала из учебников педагогику и методику, изгнала Ученика. Она ответственна за деградацию мышления, а значит, и личности учащихся. Именно она привела учащихся к массовому отвращению от учебы. Она породила государственную ложь (так называемую “процентоманию”), которая заблокировала все возможности исправления ситуации, запустив прогрессирующую коррупцию в сферу образования. До сего дня наша школа живет под тяжким бременем этой реформы. Один из главных уроков, который надо извлечь из проведенного исторического анализа, следующий: качество обучения тесно связано с сохранением отечественной педагогической традиции, ее недопустимо прерывать. В математике эта традиция сконцентрирована в учебниках А.П. Киселева. Следовательно, необходимым (хотя, наверное, недостаточным) условием возрождения нашего математического образования является возвращение в школу Киселева» (Костенко, 2011: 76-81). Об этом также писал и В.И. Арнольд (см.: Арнольд, 2002а: 245-250).

Поражают метания, которые отличают российское математическое образование: от чрезмерной его усложненности в годы «Колмогоровской реформы» до примитивизации со времени внедрения ЕГЭ, то есть игры в «угадайку» или лотерею. Пример такой игры показал в своем интервью изданию «Накануне.RU» заведующий кафедрой геометрии и топологии Петрозаводского госуниверситета, профессор Александр Иванов (см.: Смирнова, 2016b). Суть игры состояла в установлении соответствия между величинами и их возможными значениями. А. Иванов приводит две задачи на установление такого соответствия. В первой приводится описание величин: рост ребенка (А), толщина листа бумаги (Б), длина автобусного маршрута (В), высота жилого дома (Г), потом даются их возможные значения: 1) 32 км, 2) 30 м, 3) 0,22 мм, 4) 110 см. Далее дается таблица из восьми клеток, в верхней строке которой написаны буквы А, Б, В, Г, а нижние четыре клетки пустые, в которые надо разбросать предложенные числовые значения или номера, под которыми они идут. Вторая задача: вес взрослого человека (А), вес грузового автомобиля (Б), вес книжки (В), вес пуговицы на одежде (Г); возможные значения: 1) 8 т, 2) 5 г, 3) 65 кг, 4) 300 г, которые также надо разбросать по пустым клеткам. Поразительно, что настолько примитивные задания воспринимаются как норма.

В другом своем интервью Александр Иванов задается вопросом о причинах тотальной деградации математического образования. В начале он снова приводит примеры математических задач, предлагаемых на ЕГЭ: «Выпускникам 11-го класса предлагается решить такие задачи, как “определить площадь комнаты со сторонами 4 на 5 метров” или “сопоставить по размерам муху и слона” (даны цифры 5 мм и 5 м, нужно ответить, какого размера слон, какого муха). Этим школа и занимается, натаскивая ребят на решения подобных задач» (Смирнова, 2016а). Если даются такие задачи, то предполагается, что школьник с некоторой высокой вероятностью может указать размер слона в 5 мм, высоту жилого дома в 110 см, вес грузового автомобиля в 65 кг и т. д. Подобным образом во Франции на занятиях у профессора Виктора Доценко студентка не самого худшего вуза – Парижского университета имени Пьера и Марии Кюри (Paris VI) – посчитала радиус Земли в 10 мм. Но ей было абсолютно все равно (Доценко, 2002).

Далее, рассуждает профессор, надо понять, что не у детей отсутствует мотивация в изучении математики, а у учителей, так как у них на выходе базовый экзамен (ЕГЭ), который содержит в себе задачи на чувство числа и на вычисление площади комнаты. И нет смысла выкладываться и с интересом учить детей. Любопытен заголовок этого интервью: «Просишь написать “икс в квадрате” – студент рисует “x” и обводит в квадрат!?» (Смирнова, 2016а). Об этом же один из авторов этой статьи писал в 2009 году в журнале “Alma Mater” как об анекдотическом случае, произошедшем в Харьковском госуниверситете (Московкин, 2009: 9-18).

Итак, нужно срочно отказываться от ЕГЭ и выходить из Болонского процесса. Сейчас, в условиях, похоже, вечных санкций, это очень актуально и удобно сделать. В интернете запущено множество петиций против ЕГЭ и ОГЭ, но они очень слабо подписываются, так как за ними не стоят известные деятели науки и культуры России.

Современное общество потребления и либеральная публика ставит вопрос, зачем вообще нужна математика современному человеку, кому нужны эти производные и интегралы вместе с дифференциальными уравнениями? Но ответ простой, и дело не в производных и интегралах, которые в дальнейшем большинству и не понадобятся, а в том, что математика формирует аналитический ум и логическое мышление человека, воспитывает его умственные способности, что очень необходимо в любой сфере деятельности. Но, к сожалению, обществу потребления аналитический ум и логическое мышление, конечно, не нужны. Ведь атрибуты математики – логика, доказательность и дисциплинированность ума востребованы лишь в высококультурном обществе.

Как отмечает тот же В.И. Арнольд, математическое образование должно составлять неотъемлемую часть культурного багажа каждого школьника, а основной целью математического образования должно быть воспитание умения математически исследовать явления реального мира (см.: Арнольд, 1997: 109-112). Именно реального, а не абстрактного, который навязывают последователи группы Бурбаки (см.: Арнольд, 2002а: 245-250). Кроме того, математика является единственным способом дать адекватное описание многих природных и социально-экономических процессов и явлений (см.: Арнольд, 1997: 109-112).

Министерские чиновники любых стран, как бы им ни хотелось управлять вещами, в которых они мало что понимают, должны осознавать, что если не будут введены нормальные стандарты в математике и физике, а также и в других естественных науках, если не будет стимулирования обучения этим дисциплинам, то их страны столкнутся с активной деградацией всей техносферы, с разрушением мостов и зданий, взрывами электростанций, прорывами дамб и т. д. И пострадает не только техносфера, но, в первую очередь, и экзосфера, что заметно уже сейчас.

Основная часть

Для проверки уровня знаний студентов по математике и логико-математическому мышлению на протяжении двух лет проводилось анонимное тестирование студентов, обучающихся на различных направлениях подготовки в Белгородском государственном национальном исследовательском университете. Эта работа первоначально проводилась в рамках Международного волонтерского проекта «Оценка уровня логико-математического мышления студентов», презентация которого состоялась 8 апреля 2016 года в рамках Недели науки НИУ «БелГУ», на которой китайские студенты решали десять историко-математических задач, из которых две были древнекитайские[1] (см. Приложение 1).

Перед решением этих задач студенты заполняли анкету о себе и своих родителях, форма которой представлена в Приложении 2. Задачи относились к различным темам элементарной математики и проверяли знания по действиям с дробями, составлению и решению простейших линейных алгебраических уравнений и их систем, а также способности к решению задач из элементарной теории чисел. Оценивались результаты следующим образом: 2 балла – задача полностью решена, 1 балл – задача частично решена, 0 баллов – задача не решена. Время выполнения для 10 задач ограничивалось одной академической парой, то есть полутора часами астрономического времени.

За период с 01.01.2016 г. по 06.06.2018 г. были протестированы 178 студентов. В Приложении 3 представлены все полученные результаты с оценками в табличной форме (в виде тринарной матрицы), которые хранятся в созданной базе данных, с использованием пакета Microsoft Access.

После получения результата был проведен анализ, в ходе которого были рассчитаны итоговые баллы по каждой из задач и построены круговые диаграммы. На рисунке 1 представлены результаты проведенного тестирования по каждой задаче. Максимальное количество баллов по каждой задаче составляет: 178x2=356 баллов. При этом учитывались результаты, оцененные одним и двумя баллами. Суммарные баллы по всем задачам приведены в Приложении 3.

Рис. 1. Итоговые баллы по каждой решенной задаче, в процентах

Fig. 1. Final scores for each solved tasks, %

По полученным результатам (полностью и частично решенных задач) можно сделать вывод о том, что самыми простыми для решения задачами являлись задачи на составление и решение простейшего линейного алгебраического уравнения с одним неизвестным (задача 1, 169 баллов из 356), на составление и решение системы двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными (задача 5, 134 балла) и логическая задача на вычисление первых ста чисел натурального ряда (задача 7, 86 баллов).

Задачами средней сложности для решения оказались задачи на составление и решение линейного алгебраического уравнения с одним неизвестным, отягощенные вычислениями с дробями: вторая задача (69 баллов), восьмая задача (42 балла) и десятая задача (65 баллов). Отметим, что для составления уравнений в этих задачах от студента требуется достаточно высокий уровень логического мышления. Также сюда можно отнести четвертую геометрическую задачу на вычисление и сопоставление площадей квадрата и описанного вокруг него круга (40 баллов).

Самыми сложными задачами были задачи на доказательство утверждений из элементарной теории чисел (третья задача – 33 балла, шестая задача – 10 баллов, девятая задача – 13 баллов).

Таким образом, по самой простой первой задаче, полностью или частично решенной, студенты не смогли набрать и половины от максимального числа возможных баллов. Большая часть опрошенных не знает, как решать задачи на доказательство, не может формализовать условия задач и логически выстроить их решения, не имеет навыков в проведении алгебраических преобразований и даже в арифметических действиях с простыми дробями.

Далее было проведено моделирование результатов относительно институтов, в которых обучаются опрашиваемые студенты. Всего по анкетам было выделено четыре учебных подразделения: Институт экономики и управления (ИЭиУ, 59 студентов), Социально-теологический факультет (СТФ, 47 студентов), Институт инженерных технологий и естественных наук (ИИТиЕН, 38 студентов), Институт межкультурных коммуникаций и международных отношений (ИМКиМО, 33 студента). Суммарно это 177 студентов. В предыдущем рассмотрении (рис. 1, прил. 3) учитывался один студент Медицинского института, который, естественно, не вошел в выборку по четырем рассматриваемым институтам.

Для всех институтов были построены круговые диаграммы, которые показывают, какое количество студентов от общего числа опрошенных в том или ином институте решили предложенные задачи полностью и частично. Отметим, что на всех спаренных диаграммах сумма всех процентов по каждой задаче равна 100%.

На рисунке 2 представлены данные по ИЭиУ, где было опрошено 59 человек.

Рис. 2. Баллы, полученные за задачи, решенные студентами института экономики и управления

Fig. 2. Points received for problems solved by students of the Institute of Economics and Management

Исходя из полученных данных, наибольшее затруднение вызвали задачи на доказательство и теорию чисел, а именно третья, четвертая, шестая и девятая. Лучше всего была решена первая задача, но и с ней справилось только 42,4 % опрошенных студентов.

Далее был проведен анализ результатов факультета СТФ (47 опрашиваемых) (рис. 3). Студенты этого факультета девятую задачу не решили вовсе, только по одному студенту решили шестую и седьмую задачи, всего двое из студентов решили четвертую, восьмую и десятую задачи, то есть практически не были решены задачи на простую арифметику и доказательства. Очень малый процент (менее 8,5 %) студентов смогли решить третью задачу.

Рис. 3. Баллы, полученные за задачи, решенные студентами социально-теологического факультета

Fig. 3. Points received for problems solved by students of the Faculty of Theology and Social Sciences

В тестировании ИИТиЕН (рис. 4) было задействовано 38 студентов. Студентами в целом были решены все типы задач. Но шестая задача решена только частично.

Рис. 4. Баллы, полученные за задачи, решенные студентами института инженерных технологий и естественных наук

Fig. 4. Points received for problems solved by students of the Institute of Engineering Technology and Natural Sciences

При этом показаны достаточно невысокие результаты по решению задач на доказательство в рамках теории чисел и геометрии, однако задачи на арифметику были решены большей частью студентов.

В ИМКиМО было опрошено 33 студента, из них никто не справился полностью с шестой задачей (задача на доказательство в теории чисел). И в среднем они показали слабые результаты, например, первую задачу, которая является одной из самых простых, решили всего лишь 30,3 %.

Рис. 5. Баллы, полученные за задачи, решенные студентами института межкультурных коммуникаций и международных отношений

Fig. 5. Points received for problems solved by students of the Institute of Intercultural Communication and International Relations

Все полученные данные по задачам, выполненным полностью, сформированы в сводную таблицу (табл. 1) по всем институтам.

Таблица 1.

Итоговые показатели полностью решенных задач

Table 1.

The final indicators of fully solved problems

Исходя из таблицы можно сделать вывод о том, что худшие показатели были по задаче 6, которую решили только двое студентов из 178 (1,12 %), далее в порядке улучшения показателей идут задачи 9 (3,37 %), 3 (8,43 %), 4 и 8 (по 10,67 %). Лучше всего была решена 1-я задача на простые вычисления при построении и решении линейного алгебраического уравнения с одним неизвестным, но и здесь успешность составляет лишь 42,13 %.

Если посмотреть на решение историко-математических задач в индивидуальном разрезе в Приложении 3, то мы увидим, что больше половины баллов в интервале от 11 до 20 набрали всего 9 студентов из 178. Это очень печальный результат. Высокие результаты показали только три студента под кодовыми номерами 111 (18 баллов, ИЭиУ, Россия, юноша), 123 (17 баллов, ИТиЕН, Россия, девушка) и 22 (16 баллов, ИМКиМО, Китай, девушка).

Заключение

Исследование показало очень слабую математическую подготовку студентов различных профилей, начиная от гуманитарных направлений и заканчивая техническими. Все задачи требовали знания школьной математики, а большинство – знания лишь арифметики. Но кроме знаний по элементарной математике для решения этих историко-математических задач студент должен уметь логически мыслить, чему в процессе воспитания и обучения не уделяется должного внимания.

К сожалению, слабая математическая подготовка студентов – это уже повсеместно распространенная ситуация, связанная с общей деградацией образования в мире, в котором уже не нужны думающие люди. Незнание элементарной математики не дает студентам никакой возможности освоить высшую математику, а в двух из четырех институтов, студентов из которых мы тестировали, проходят курсы высшей математики.

Полагаем, что подобное тестирование студентов и школьников на решение историко-математических задач, хорошо проверяющее их логико-математическое мышление, позволяет выявлять наиболее талантливых учащихся, способных добиваться успехов в любом виде деятельности, а также повышает мотивацию к изучению не только математики, но и истории. Помимо решения историко-математических задач, можно предложить школьникам и студентам порешать вместе со своими преподавателями задачи В.И. Арнольда для детей от 5 до 15 лет, некоторые из которых непосильны даже профессорам и академикам, хотя смышленые дети их легко решают (Арнольд, 2018).

В дальнейшем мы планируем поискать связи результатов тестирования с характеристиками анкетных данных (возраст, пол, статус школы, которую закончили студенты, образование родителей, страна).